jako że brakuje ciekawych problemów, przypomnę kilka starych zadań które misie zachowały z "dawnych czasów" i nie zostały rozwiązane lub rozwiązania zginęły podczas awarii forum.


1.
Wykazać że zbiór

jest gęsty w przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem na .



2.
udowodnij poniższą tożsamość z współczynnikami Newtona i liczbami Fibonacciego



3.
Wyznaczyć wszystkie liczby o następującej własności:
Wśród dowolnych osób istnieją dwie, które mają parzystą liczbę wspólnych znajomych

Oznaczmy i rozważmy przestrzeń unormowaną .
Weźmy wówczas . Zatem funkcjonał , jest dobrze określony i liniowy.
Pokażemy, że nie jest ciągły. Istotnie dla dowolnego istnieje funkcja taka, że oraz . Mamy więc
Zatem zbiór jest gęsty w przestrzeni . Pozostaje zauważyć, że zbiór jest gęsty w przestrzeni .

Tożsamość z zadania 2. nie zachodzi już dla .

literówka zamiast powinno byc , już poprawione

Fajne to zadanie 2. poćwiczyłem rachunki i po kilku godzinach udało mi się to udowodnić.
Zamiast rozwiązania to podam jaką wytropiłem funkcję tworzącą

4.
Niech będzie zbiorem wypukłym nie zawierającym punktu .
Pokazać że istnieją takie że dla każdego punktu zachodzi .
Podać przykłady pokazujące, że założenie wypukłości i odrzucenie zera, są istotne.


5.
Czy w kuli o promieniu 1 można umieścić parami rozłączne kule otwarte o promieniach , , , ?

w zadaniu 4 chodzi o bezpośrednią konstrukcję?Bo wydaje mi się, że to jest konsekwencja twierdzenia o oddzielaniu zbiorów wypukłych a to twierdzenie z kolei opiera się na tw.Hahna-Banacha.

było na forum konstruktywne rozwiązanie, ale pojawiło się na krótko przed awarią, a był to czas sesji i wtedy tylko na to spojrzałem, nie zapamiętałem nawet tricka jaki został użyty

Zadanie 5. O jakiej przestrzeni mówimy, bo z rozbieżności od razu widać, że w jest to niemożliwe.

z naturalną metryką.